Chuyên đề tính diện tích hình phẳng

      52

Bài viết lý giải áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng trải qua tổng hợp lý thuyết, phân dạng, quá trình giải toán với các ví dụ minch họa bao gồm giải mã chi tiết. Kiến thức cùng các ví dụ vào nội dung bài viết được tham khảo từ các tư liệu nguim hàm, tích phân với áp dụng đăng tải bên trên vumon.vn.

Bạn đang xem: Chuyên đề tính diện tích hình phẳng

Lý tngày tiết phải nắm:1. Diện tích của hình tròn trụ và của hình elípa. Hình tròn bán kính $R$ bao gồm diện tích S $S = pi R^2.$b. Hình elíp $left( E ight)$: $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ có diện tích $S = pi ab.$2. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn do các mặt đường conga. Diện tích hình phẳng giới hạn vị thiết bị thị hàm số $y = fleft( x ight)$ ($fleft( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục $Ox$ với hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được đến do công thức: $S = intlimits_a^b left .$b. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ cùng đồ thị của nhị hàm số $y = f_1left( x ight)$ và $y = f_2left( x ight)$ ($f_1left( x ight)$ và $f_2left( x ight)$ liên tiếp trên đoạn $left< a;b ight>$) được mang đến vày công thức: $S = intlimits_a^b f_1(x) – f_2(x) ight .$

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn vì vật dụng thị hàm số $y = fleft( x ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục hoành cùng hai tuyến phố thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$+ Bước 1: Điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S yêu cầu xác minh, ta có: $S = intlimits_a^b f(x) ight .$+ Bước 2: Xét vệt biểu thức $fleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ kia phân được đoạn $left< a;b ight>$ thành những đoạn nhỏ, trả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà trên mỗi đoạn $fleft( x ight)$ chỉ tất cả một vết.+ Cách 3: lúc đó: $S = intlimits_a^c_1 dx + intlimits_c_1^c_2 f(x) ight dx$ $ + … + intlimits_c_k^b f(x) ight dx.$

Chụ ý: Nếu bài toán phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $x = m fleft( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) hai đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, lúc ấy cách làm tính diện tích là: $S = intlimits_a^b f(y) ight .$

ví dụ như 1: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành cùng hai tuyến phố thẳng $x = 0$ và $x = frac2pi 3.$b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 1$, trục hoành, trục tung cùng con đường thẳng $x = 2.$

a. Ta có: $S = intlimits_0^2pi /3 dx $ $ = intlimits_0^2pi /3 (comathop m s olimits x + 1)dx $ $ = left( sin x + x ight)left| _0^2pi /3 ight.$ $ = fracsqrt 3 2 + frac2pi 3.$b. Ta có: $S = intlimits_0^2 x^3 – 1 ight .$Xét hàm số: $fleft( x ight) = x^3 – 1$ bên trên đoạn $left< 0;2 ight>$, ta có: $x^3 – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 + m x m + m 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x m = m 1.$Bảng xét dấu:

*

Khi đó: $S = intlimits_0^1 left + intlimits_1^2 x^3 – 1 ight $ $ = intlimits_0^1 left( 1 – x^3 ight)dx + intlimits_1^2 left( x^3 – 1 ight)dx $ $ = left( x – fracx^44 ight)left| _0^1 ight. + left( fracx^44 – x ight)left| _1^2 ight. = frac72.$

Nhận xét: Bởi vậy, nhằm tính những diện tích hình phẳng trên:+ Ở câu 1.a họ chỉ vấn đề thực hiện phương pháp với nhấn xét $cosx + 1 ge 0$ để phá vệt trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất. Từ kia, nhấn được giá trị của tích phân.+ Tại câu 1.b họ cần xét vệt nhiều thức $x^3 – 1$ bên trên đoạn $left< 0;2 ight>$, nhằm từ bỏ kia tách tích phân $S$ thành những tích phân nhỏ mà bên trên kia biểu thức $x^3 – 1$ ko âm hoặc không dương.

Xem thêm: Chụp X Quang Bệnh Phổi Tắc Nghẽn Mạn Tính (X, Ca Lâm Sàng Bệnh Phổi Tắc Nghẽn Mãn Tính

ví dụ như 2: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ và trục hoành.b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$ và trục hoành.

Xem thêm: Top 17 Cách Chữa Bệnh Mề Đay Tại Nhà Giảm Nhanh Ngứa, Đánh Bay Mẩn Đỏ

a. Ta tất cả hoành độ giao điểm của vật dụng thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ với trục hoành là:$ – x^2 + 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$lúc đó: $S = intlimits_1^2 – x^2 + 3x – 2 ight $ $ = intlimits_1^2 left( – x^2 + 3x – 2 ight)dx $ $ = left. left( – frac13x^3 + frac32x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = frac16.$b. Ta tất cả hoành độ giao điểm của trang bị thị hàm số $y = x^2 – 2x$ cùng trục hoành là:$x^3 – 2x^2 – x + 2 m = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ hoặc $x = 2.$Lúc đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ = intlimits_ – 1^1 dx $ $ + intlimits_1^2 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $$ = intlimits_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight)dx $ $ + intlimits_1^2 left( – x^3 + 2x^2 + x – 2 ight)dx $$ = left. left( frac14x^4 – frac23x^3 – frac12x^2 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( – frac14x^4 + frac23x^3 + frac12x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: do đó, nhằm tính những diện tích hình phẳng bên trên bọn họ những buộc phải tìm được nhị cận $a$, $b$ của tích phân và:+ Tại câu 2.a vì phương thơm trình hoành độ chỉ có nhì nghiệm bắt buộc hàm số bên dưới dấu tích phân chỉ bao gồm một vết.+ Ở câu 2.b bởi vì pmùi hương trình hoành độ bao gồm bố nghiệm yêu cầu tích phân $S$ cần được tách thành nhì tích phân nhỏ dại.Dạng toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn vày đồ dùng thị nhị hàm số $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$ (thường xuyên bên trên đoạn $left< a;b ight>$) hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$+ Cách 1: Gọi $S$ là diện tích S cần xác minh, ta có: $S = intlimits_a^b dx .$+ Cách 2: Xét dấu biểu thức $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a,b ight>$ thành các đoạn nhỏ, đưa sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ nhưng mà trên mỗi đoạn $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ chỉ bao gồm một vết.+ Cách 3: khi đó: $S = I = intlimits_a^c_1 dx + $ $… + intlimits_c_k^b dx .$

Crúc ý: Nếu bài bác toán thù phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị nhị hàm số $x = f_1left( y ight)$ và $x = f_2left( y ight)$ (liên tiếp bên trên đoạn $left< a;b ight>$) cùng hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ với trục $Oy$”, khi ấy phương pháp tính diện tích S là: $S = intlimits_a^b f_1(y) – f_2(y) ight .$

lấy ví dụ 3: Tính diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị những hàm số $y = 4-x^2$, $y = -x + 2.$b. Đồ thị các hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$

a. Hoành độ giao điểm của nhị thứ thị là nghiệm của phương thơm trình:$4–x^2 = –x + 2$ $ Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$Lúc đó: $S = intlimits_ – 1^2 left $ $ = – intlimits_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx $ $ = – left. left( frac13x^3 – frac12x^2 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac276.$b. Hoành độ giao điểm của nhị đồ thị là nghiệm của phương trình:$lnx = -lnx$ $ Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ Leftrightarrow lnx = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$lúc đó: $S = intlimits_1^e left $ $ = 2intlimits_1^e ln x.dx .$Đặt: $left{ eginarraylu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = xendarray ight.$ $ Rightarrow S = 2left( left. x.ln x ight ight)$ $ = 2left( _1^e ight)$ $ = 2.$

Ví dụ 4: Cho hàm số: $left( C ight)$: $y = fracx^2x^2 + 1$. Tìm $b$ làm sao để cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi $left( C ight)$ và những đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $fracpi 4.$

Gọi $S$ là diện tích S phải khẳng định, ta có:$S = intlimits_0^b | frac mx^ m2 mx^ m2 + 1 – 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow intlimits_ m0^b | frac mx m ^ m2 – x^2 – 1 mx m ^ m2 + 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| intlimits_0^b fracdx mx^ m2 + 1 ight|$ $ = fracpi 4$ $(1).$Đặt $x = tant$, $ – fracpi 2 Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = altrộn $ (với $tanalpha = b$ và $ – fracpi 2 khi đó: $(1) Leftrightarrow left| intlimits_0^alpha dt ight|$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| t ight|left| eginarraylalpha \0endarray ight.$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| alpha ight| = fracpi 4$ $ Leftrightarrow b = pm 1.$


Chuyên mục: Tổng hợp