Lượng Giác Hóa Số Phức

  -  

Cho số phức z ¹ 0. hotline M là 1 trong những điểm vào mặt phẳng phức màn trình diễn số phức z. Số đo (radian) của từng góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được hotline là 1 trong acgumen của z.

Bạn đang xem: Lượng giác hóa số phức

Bởi vậy nếu như j là một acgumen của z, thì hồ hết acgumen đều phải có dạng:

*

2. Dạng lượng giác của số phức.

Xét số phức 

*

Call r là môđun của z với j là một trong acgumen của z.

*

3. Nhân và phân tách số phức bên dưới dạng lượng giác.

*

4. Công thức Moivre.

*

5. Cnạp năng lượng bậc nhị của số phức dưới dạng lượng giác.

Cho số phức 

*

lúc đó z tất cả nhì căn uống bậc nhị là:

*

B. các bài luyện tập minh họa

Dạng 1: Chuyển một trong những phức quý phái dạng lượng giác.

Pmùi hương pháp: Dạng lượng giác bao gồm dạng: z = r(cos j + i sin j ) trong các số ấy r > 0.

Để gửi một số trong những phức lịch sự dạng lượng giác ta cần tra cứu r cùng j;

+ Ta tất cả r = |z|

+ j là số thực thoả mãn 

*

Câu 1: Viết những số phức sau dưới dạng lượng giác:

1. 2i 5. z1 = 6+6i$sqrt3$

2. -1 6. z2 = $-frac14$+i$fracsqrt34$

3. 2 7. z3 = 9 – 9i$sqrt3$

4. -3

Giải:

*

5) Ta có: r5 = 12

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

6) Ta có r6 =

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

 

7)Ta có: r7 = 18

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

Nhận xét: Đây là một trong những dạng bài xích tập siêu phổ biến, cần để ý mang đến học sinh biện pháp lựa chọn số j thỏa mãn hệ pmùi hương trình lượng giác

*
Trong quy trình dạy, tôi thấy rằng các học sinh mắc sai lạc sau: chỉ search j vừa lòng cosj = a/r nhưng không chú ý mang lại sin j = b/r. Chẳng hạn với hệ
*
 thì học sinh chọn j =.

Xem thêm: #1 Ăn Gì Dễ Đi Cầu - #1 Ăn Gì Để Dễ Đi Ngoài

 

Câu 2: Viết những số phức sau dưới dạng lượng giác:

(1-i$sqrt3$)(1+i)$frac1-isqrt31+i$$frac12+2i$

Giải:

1) Ta có: 1- i$sqrt3$ =2>

(1+i) = >

Áp dụng công tthức nhân, phân chia số phức ta đuợc:

(1-i$sqrt3$)(1+i) = 2$sqrt2$>

2) $frac1-isqrt31+i$=$sqrt2$>

3) $frac12+2i$=$frac14(1-i)$=>= >

Câu 3: Tìm phần thực với phần ảo của từng số phức sau:

1) $frac(1-i)^10left( sqrt3+i ight)^9$

2)

Giải:

Xét số phức: 

*

Vậy: phần thực bằng: $-frac116$ cùng phần ảo bằng 0.

2) Xét số phức:

*

Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bởi 128.

Câu 4: Tính số phức sau:

z =

Giải:

z =$$

=

= cos(-15p) + isin(-15p) = -1.

Câu 5: Viết các số sau bên dưới dạng lượng giác:

cosa – isimãng cầu, a
*
 <0;2p).sina +i(1+cosa), a
*
<0;2p).cosa + sina + i(sina – cosa), a 
*
 <0;2p)

 Giải:

Ta có:

1) cosa - isin a = cos(2p - a) + isin(2p -a) lúc a

*
 <0;2p)

2) z2 = simãng cầu +i(1+cosa) = 2sin$fraca2$cos$fraca2$ + 2icos2$fraca2$ = 2cos$fraca2$(sin $fraca2$ + i cos $fraca2$)

- Nếu a

*
 <0;p ) Þ cos$fraca2$ > 0 Þ z2 = 2cos$fraca2$(cos($fracpi 2$- $fraca2$) + i sin ($fracpi 2$-$fraca2$)

- Nếu a

*
 (p ;2p ) Þ cos$fraca2$ Þ z2 = -2cos$fraca2$(cos($frac3pi 2$- $fraca2$) + i sin ($frac3pi 2$-$fraca2$)

- Nếu a Þ z2 = 0(cos0 + isin0)

3) z3 = cosa + simãng cầu + i(simãng cầu – cosa) = $sqrt2$(cos$left( a-fracpi 4 ight)$+ i sin $left( a-fracpi 4 ight)$

Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác.

Câu 6: Chứng minc rằng:

sin5t = 16sin5t – 20sin3t +5sint

cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost

Giải:

Dùng cách làm Moivre với công thức khai triển nhị thức (cost + isint)5

Ta được:

cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t

Þ cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2 + i<5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t +sin5t>

Đồng tuyệt nhất nhị vế ta được điều phải chứng minh.

Ngoài áp dụng của bí quyết Moivre vào lượng giác, bạn có thể thấy nếu chuyển được một số phức về dạng lượng giác thì rất có thể tìm kiếm căn uống bậc nhị một phương pháp dễ dàng và nhanh lẹ. Sau đấy là một trong những vận dụng của dạng lượng giác nhằm tra cứu căn bậc nhì của một số phức và giải phương thơm trình bậc nhì.

Câu 7 : Giải pmùi hương trình:

z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (1)

Giải:

Ta có: (1)  z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z + 1) = 0

 (z+ 1) (z4 + z 2 + 1) = 0

*

Xét phương thơm trình:

*

Tóm lại phương trình đã mang đến gồm toàn bộ 5 nghiệm:

z = -1; z = $frac12+fracsqrt32i$; z = $-frac12-fracsqrt32i$; z = $frac12-fracsqrt32i$; z = $-frac12+fracsqrt32i$

Câu 8: Cho z1 và z2 là nhì số phứ đọng xác định vì z1 = 1+i$sqrt3$ và z2 = 1 – i

Xác format đại số cùng dạng lượng giác của $fracz_1z_2$Từ kia suy ra quý hiếm đúng đắn của: cos$frac7pi 12$ cùng sin$frac7pi 12$

Giải: Ta tất cả $fracz_1z_2$=$frac1+isqrt31-i$=$frac1-sqrt32+ileft( frac1+sqrt32 ight)$

Ta có: z1 = 2(cos$fracpi 3$ + isin$fracpi 3$); z2 = $sqrt2$(cos$left( -fracpi 4 ight)$ + isin$left( -fracpi 4 ight)$)

 => $fracz_1z_2$= $sqrt2$(cos$frac7pi 12$ + isin$frac7pi 12$)

 => cos$frac7pi 12$ = $frac1-sqrt32$và sin$frac7pi 12$= $frac1+sqrt32$

Nhận xét: Qua bài xích tập này ta thấy được một ứng dụng quan trọng đặc biệt của số phức, ta hoàn toàn có thể tính sin, cos của một góc bằng biện pháp số phức trải qua sự contact giữa dạng đại số cùng dạng lượng giác của số phức.

Xem thêm: Chán Quá Thì Làm Gì Khi Chán? Lấy Lại Tinh Thần Khi Buồn Chán

C. Những bài tập từ luyện

Câu 1: Viết những số sau bên dưới dạng lượng giác:

a) z1 = 6 + 6i$sqrt3$

b) z2 = $-frac14+ifracsqrt34$

c) z2 = $-frac12-ifracsqrt32$

d) z3 = 9 – 9i$sqrt3$

e) z5 = -4i

Câu 2: Viết những số phức sau bên dưới dạng lượng giác:

a) -2(cos$fracpi 6$+isin$fracpi 6$)

b) cos$fracpi 17$- isin$fracpi 17$

c) sin$fracpi 17$+ icos$fracpi 17$

d) 1 – cos a+ isimãng cầu, a

*
 <0;2p)

Câu 3: Tìm những cnạp năng lượng bậc nhì của số phức sau:

z = 1+iz = i$frac1sqrt2+fracisqrt2$-2(1+i$sqrt3$)7- 24i

Câu 4: Sử dụng dạng lượng giác nhằm tính số phức sau:

a) $left( frac12-ifracsqrt32 ight)left( -3+3i ight)left( 2sqrt3+2i ight)$

b) (1+i)(-2-2i)i

c) -2i(-4+4$sqrt3$i)(3+3i)

d) 3(1-i)(-5+5i)

Câu 5: Chứng minc rằng: $left( frac-sqrt3+i1+i ight)^12$là số thực

Câu 6: Tìm môđun của z cùng argument:

z = $fracleft( 2sqrt3+2i ight)^8left( 1-i ight)6+fracleft( 1+i ight)^6left( 2sqrt3-2i ight)^8$z = z = $left( 1+isqrt3 ight)^n+left( 1-isqrt3 ight)^n$

Câu 7 :Cho nhì số phức z1 = $sqrt2$+ i$sqrt2$ và z2 = 1+$sqrt3$i

Tính môđun và argument của nhị số phức nói bên trên.Tính môđun và argument của z13 và z22 với $fracz_1^3z_2^2$Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos$fracpi 12$ và sin$fracpi 12$

Đáp số

Câu 1:

z1 = 12$left( c extosfracpi 3+ extisin fracpi 3 ight)$; z2 = $frac12left( c extosfrac2pi 3+ extisin frac2pi 3 ight)$; z3 =$c extosfrac4pi 3+ extisin frac4pi 3$

z1 = 12$18left( c extosfrac5pi 3+ extisin frac5pi 3 ight)$; z2 = $4left( c extosfrac3pi 2+ extisin frac3pi 2 ight)$;

Câu 2:

a) 2(cos$frac7pi 6$+isin$frac7pi 6$)

b) cos$left( -fracpi 17 ight)$+ isin$left( -fracpi 17 ight)$

c) cos$frac15pi 34$+ isin$frac15pi 34$

d)

*

- Nếu a = 0 Þ ko vĩnh cửu số phức dưới dạng lượng giác.

Câu 3:

*

Câu 4:

a) 12$sqrt2$(cos$frac7pi 4$+isin$frac7pi 4$)

b) 4(cos0 + isin0)

c) 48$sqrt2$(cos$frac5pi 12$+isin$frac5pi 12$)

d) 30(cos$fracpi 2$+isin$fracpi 2$)

Câu 5: Sử dụng cách làm Moavrơ : $left( frac-sqrt3+i1+i ight)^12$= -64

Câu 6:

|z| = $2^13+frac12^13$; arg z = $frac5pi 6$|z| = $frac12^9$; arg z = p |z| = $2^n+1left| c extosfrac5npi 3 ight|$; arg z = j
*
 0;p

Câu 7:

Ta có |z1| = 2; j1 = $fracpi 4$; |z2| = 2; j2 = $fracpi 3$|z13| = 8; j3 = $frac3pi 4$; |z2| = 4; j4 = $frac2pi 3$; $left| fracz_1^3z_2^2 ight|$= 2; j5 = $fracpi 12$cos$fracpi 12$ = $fracsqrt2+sqrt64$và sin$fracpi 12$ = $fracsqrt6-sqrt24$ Bài viết gợi ý: